投票悖论和阿罗不可能定理

美国大选是一种投票式民主。但是，投票真的能实现民主吗？很遗憾，并不能。即便是排除选票造假、非法投票等操作性问题，在数学上，可以证明，投票并不能实现民主。这正是 1972 年诺贝尔经济学奖肯尼斯·阿罗（Kenneth J. Arrow）的研究成果。

什么是民主？民主是一群人，采用一种制度的办法，做出一项集体选择或称集体决策，而该项集体决策，能够符合该群体中最大多数人的利益诉求。

可见，民主首先就是有边界的。美国人的民主，只是为了符合美国人的利益。而它是否会损害地球上其他非美国人的利益呢？当然有可能。

其次，民主的目的是为了做集体决策，或者说做出一个具体的集体选择。投票，是为了达到这个目的的一种手段和方法。

最后，民主的目标是利益（而不是道德或其他什么东西），最终结果要有利于最大多数人的利益。

即便我们不考虑一群人集体做出的决策是否真的有利于多数人的利益，仅仅是在做出集体选择这一步，阿罗就证明了，没有一种投票制度的设计是能够真正得到一个结果的。

在 1972 年阿罗在瑞典斯德哥尔摩诺贝尔奖颁奖典礼所作报告《一般经济均衡：目的，分析技术，集体选择》（General Ecnomic Equilibrium: Purpose, Analytic Techniques, Collective Choice) 的结尾，他引述了 18 世纪法国学者孔多塞提出的投票悖论来作为生动的例子。

这个例子是这样的：

有张三、李四、王五三个人，中午相约一起去吃午饭。他们的选项有三家：黄焖鸡米饭，达美乐披萨，肯德基汉堡。

张三的偏好是：黄焖鸡 > 披萨 > 汉堡

李四的偏好是：披萨 > 汉堡 > 黄焖鸡

王五的偏好是：汉堡 > 黄焖鸡 > 披萨

请设计一个投票制度，可以让他们三人组成的群体，通过民主投票的方法，选出一个最好的选项出来。

初中数学及格的人都能发现，这样的民主投票制度是不存在的！

若投票结果是黄焖鸡：只有张三一个人满意。而李四和王五两个人都觉得，选黄焖鸡不如选汉堡！

若投票结果是披萨：只有李四一个人满意。而张三和王五两个人都觉得，选披萨不如选黄焖鸡！

若投票结果是汉堡：只有王五一个人满意。而张三和李四两个人都觉得，选汉堡不如选披萨！

可见，即使是在这样一个如此简单的系统中，民主都是无法实现的。无论怎么选，都是绝大多数人不满意。

这还只是三个人选吃啥。如果是三亿人选总统呢？难道就能有什么制度保证投票选举一定可以达成真正的民主决策——即选出的总统有利于最大多数人的利益吗？

更复杂的设计，只会掩盖这个根本性的问题，而绝对不能解决问题。因为这是数学和逻辑的问题，不是通过制度设计可以解决的。

阿罗推广并形式化了这一问题，并进行了严格的数学证明，称为阿罗不可能定理（Arrow's impossibility theorem）。

在民主决策和投票系统中，人们常常希望根据所有成员的个人偏好来做出集体决策。但阿罗不可能定理表明，任何尝试汇总个人偏好以形成社会偏好的规则，都无法同时满足以下五个看似合理的条件：

1. 非独裁性（Non-dictatorship）：没有任何一个人能够完全决定社会的偏好。也就是说，社会偏好不应该仅仅等于某个个人的偏好，集体决策应反映多个成员的意见。

2. 一致性（Pareto Efficiency）：如果所有人都偏好 A 超过 B，那么社会的偏好也应反映出 A 优于 B。这是集体决策的一种基本合理性要求。

3. 独立于无关选项（Independence of Irrelevant Alternatives, IIA）：社会对 A 和 B 的偏好关系只应该取决于人们对 A 和 B 的偏好，而不应受其他选项的影响。这意味着加入一个无关选项 C 不应改变 A 和 B 的排序。

4. 集体理性（Transitivity）：如果社会偏好 A 优于 B，且 B 优于 C，那么社会偏好应满足 A 优于 C。即集体偏好必须是一致的，不出现循环偏好。

5. 普遍领域（Unrestricted Domain）：所有可能的个人偏好组合都应该被允许，即无论人们的偏好是怎样的，规则都应能适用。

阿罗证明了，在有三个或更多的候选项时，任何偏好汇总机制都不可能同时满足上述五个条件。换句话说，要么需要放弃其中某一个条件，要么需要接受一个不完美的决策系统（例如，接受一个「独裁者」来做决策，或者允许系统不满足一致性等条件）。

阿罗不可能定理表明，在追求公平、合理和一致的集体决策时，存在无法避免的矛盾。这一定理对政治学、经济学、社会选择理论和投票制度设计等领域具有深远的影响。它揭示了民主决策的内在局限性，即我们可能无法找到一种完全公平的决策机制来汇总个人偏好。

阿罗不可能定理揭示了集体决策中的基本悖论，即在满足合理条件的情况下，无法设计出一种完美的社会选择规则。它告诉我们，任何集体决策机制都需要在公平性、一致性和合理性之间做出权衡取舍。

在中本聪 2008 年公布的比特币白皮书中，谈到了多数决策的问题。就是在第 4 小节「工作量证明」里。这段话是这么写的：

「工作量证明还解决了在多数决策中确定代表制的问题。如果基于一个 IP 地址 一票制确定多数，那么该制度就有可能被任何有能力分配很多 IP 的人所颠覆。工作量证明本质上是一个 CPU 一票。多数决策由最长链来代表，它有着最大的投入其中的工作量证明。如果多数 CPU 算力被诚实节点所控制，诚实链就会以最快的速度增长并超过任何竞争链。要修改一个过去的区块，攻击者将不得不重做该区块以及所有后续区块的工作量证明，然后追上并超越诚实节点的工作量。我们稍后会展示，随着后继区块被添加，一个较慢的攻击者追上的概率会以指数级衰减。」

中本聪在这里讲的「一个 CPU 一票」，其实是指一份算力一票。至于这一份算力究竟是多少算力呢，其实就是节点算力占整个网络的算力的比例。

分布式系统的一致性问题，其实也是一个集体选择的问题。只不过做出集体选择的，是计算机自动化地执行其所有者的意志罢了。

传统的解决方案都是逻辑投票，比如像什么 BFT（拜占庭容错算法）之类的。FLP 不可能定理已经把这条路给堵死了。

中本聪彻底抛弃了这些已经走入死胡同的老路。比特币白皮书一个字儿都没提那些传统的分布式算法，也没有引述任何相关的参考文献，仿佛它们不存在一般。

在上面的白皮书第 4 小节里，中本聪指出，按「人头」（IP 地址）投票的办法，必然会遇到投假票的问题。就像这次美国大选，没有投票资格的留学生也轻易投了票。甚至很多人自曝过去曾经用猫啊狗啊的名字都能投票。

这在分布式系统中有个术语叫做「女巫攻击」（Sybil attack），即伪造身份攻击。女巫，就是分身的比喻。

美国大选系统能抗女巫攻击吗？看起来是有漏洞的。

有人可能会说，假冒投票收益极小，而可能触及犯罪的损失极大，不会有人去干这种事的。但是，如果是参与竞争的一方，有组织地去搞假票攻击，那就是获益极大的事了。

有人又说，全美搞一套身份证系统，选票记名，是不是就可以解决这个问题？但是，身份证和记名投票又会带来其他妨害民主的问题。况且，身份证的统一颁发和认证，意味着又要引入一个中心化的权力部门。

对比特币系统而言，要彻底地去中心化，也就不可能采用这样中心化的解决方案。

中本聪换了一个思路，他让大家用「工作量证明」来投票。

简单来说，就是谁干的活多，谁的话语权（投票权）就大。注意，不是谁的币多（钱多），谁的话语权大。

和马克思恩格斯说的让工人阶级掌权异曲同工。让最普遍的代表先进生产力的群体掌握最大的权力。

为什么？因为持币用户随时可以割肉跑路。而矿工的矿机一旦部署，关机就成废铁。这也是为什么国家的基本盘是工农劳动群众，而不是资本家的原因。

当然，现实社会中干活的多少因为分工等差异不易测量和比较，但是对于比特币系统就简单多了，都是一样的哈希计算，很容易测量和比较。

按工作量证明投票这种生产力民主制，或者叫算力民主制，得到的结果是中本聪讲的「最长链」。

「在 2008 年 11 月 8 日的邮件中，中本聪写道:『CPU 算力的工作量证明投票必须具有最终的发言权。』让每个人都相信最长链 ( 累积算力最大的链 ) 是有效链，这 是建立全球共识的唯一方法。」——《比特币史话》第十一章第 51 话「算力民主制」

可见，比特币系统是「一党制」——只有一条最长链，而不是美国那样的「两党制」——在两条对等的链之间进行选择。否则就要出现「脑裂」。最长链是系统的谢林点（Schelling Point，默认共识，由美国经济学家托马斯·谢林提出）。

任何一个向系统贡献算力的节点都可以获得提议新区块、延长最长链的权利。对最长链的延长，其实也是对最长链的认可和确认。

其他所有贡献算力的节点，则可以通过验证和接纳这个新区块，来实现对被延长了的最长链的认可。

只要超过半数的算力都认可了被延长的最长链，这就是新的全局共识了。

在《比特币史话》第十一章第 51 话「算力民主制」的最后，教链如此总结：

「矿工通过算力投票实现坚持最长链原则一百年不动摇，但是矿工并不能篡改任何共识规则。共识规则由比特币核心开源代码定义，其修改权力掌握在开发团队手中，但是开发团队并不能为所欲为，随意破坏共识规则，因为矿工和用户拥有推举出新的开发团队分叉代码 ( 复制一份开源代码另行维护 ) 的权利。而最终的决定性力量其实还是广大持币用户，他们决定卖出哪个币、买入哪个币，就是在用脚投票。水可载舟，亦可覆舟。但是同时，持币用户是「乌合之众」，他们只有来去随意的消极自由，而没有强迫开发团队修改规则的积极自由或权力。

「让有自由的没权力，有权力的没自由。来去随意，但谁都不能为所欲为。这，就是比特币的算力民主制。」